<header>
    按一行（列）展开
</header>
<p>
    对于n级行列式，比如我们可以规定按i行展开有：
    <span class="oneline">
        <code>
            ["join",
                ["matrix",[
                    [["rightBottom","a","11"],["rightBottom","a","12"],"...",["rightBottom","a","1n"]],
                    ["⁝","⁝"," ","⁝"],
                    [["rightBottom","a","i1"],["rightBottom","a","i2"],"...",["rightBottom","a","in"]],
                    ["⁝","⁝"," ","⁝"],
                    [["rightBottom","a","n1"],["rightBottom","a","n2"],"...",["rightBottom","a","nn"]]
                ],true],
                " = ",
                ["rightBottom","a","i1"],["rightBottom","A","i1"]," + ",
                ["rightBottom","a","i2"],["rightBottom","A","i2"]," + ",
                " ... + ",
                ["rightBottom","a","in"],["rightBottom","A","in"]
            ]
        </code>
    </span>
    那么，比如
    <code>
        ["rightBottom","A","ij"]
    </code>
    究竟是什么？
</p>
<p>
    对于上式，我们可以令除
    <code>
        ["rightBottom","a","ij"]
    </code>
    为1外，别的
    <code>
        ["rightBottom","a","i1"]
    </code>,
    <code>
        ["rightBottom","a","i2"]
    </code>,...,
    <code>
        ["rightBottom","a","in"]
    </code>
    等都为0，那么就可以得到：
    <span class="oneline">
        <code>
            ["join",
                ["matrix",[
                    [["rightBottom","a","11"],"...",["rightBottom","a","1,j-1"],["rightBottom","a","1j"],["rightBottom","a","1,j+1"],"...",["rightBottom","a","1n"]],
                    ["⁝","","⁝","⁝","⁝"," ","⁝"],
                    [["rightBottom","a","i-1,1"],"...",["rightBottom","a","i-1,j-1"],["rightBottom","a","i-1,j"],["rightBottom","a","i-1,j+1"],"...",["rightBottom","a","i-1,n"]],
                    ["0","...","0",1,"0","...","0"],
                    [["rightBottom","a","i+1,1"],"...",["rightBottom","a","i+1,j-1"],["rightBottom","a","i+1,j"],["rightBottom","a","i+1,j+1"],"...",["rightBottom","a","i+1,n"]],
                    ["⁝","","⁝","⁝","⁝"," ","⁝"],
                    [["rightBottom","a","n1"],"...",["rightBottom","a","n,j-1"],["rightBottom","a","nj"],["rightBottom","a","n,j+1"],"...",["rightBottom","a","nn"]]
                ],true],
                " = ",
                ["rightBottom","A","ij"]
            ]
        </code>
    </span>
    上式右边的内容
    <code>
        ["rightBottom","A","ij"]
    </code>
    我们称为元素
    <code>
        ["rightBottom","a","ij"]
    </code>
    的<span class="important">代数余子式</span>。
</p>
<p>
    进一步，根据行列式的性质，可以把上式左边i行元素依次和i+1,i+2,...,n行依次进行互换，然后再把j列元素依次和j+1,j+2,...,n列依次进行互换，则进一步得到：
    <span class="oneline">
        <code>
            ["join",
                ["rightTop","(-1)","i+j"],  
                ["matrix",[
                    [["rightBottom","a","11"],"...",["rightBottom","a","1,j-1"],["rightBottom","a","1,j+1"],"...",["rightBottom","a","1n"],["rightBottom","a","1j"]],
                    ["⁝","","⁝","⁝","⁝"," ","⁝"],
                    [["rightBottom","a","i-1,1"],"...",["rightBottom","a","i-1,j-1"],["rightBottom","a","i-1,j+1"],"...",["rightBottom","a","i-1,n"],["rightBottom","a","i-1,j"]],
                    [["rightBottom","a","i+1,1"],"...",["rightBottom","a","i+1,j-1"],["rightBottom","a","i+1,j+1"],"...",["rightBottom","a","i+1,n"],["rightBottom","a","i+1,j"]],
                    ["⁝","","⁝","⁝","⁝"," ","⁝"],
                    [["rightBottom","a","n1"],"...",["rightBottom","a","n,j-1"],["rightBottom","a","n,j+1"],"...",["rightBottom","a","nn"],["rightBottom","a","nj"]],
                    ["0","...","0","0","...","0",1]
                ],true],
                " = ",
                ["rightBottom","A","ij"]
            ]
        </code>
    </span>
    根据行列式的定义，上式进一步可以简化：
    <span class="oneline">
        <code>
            ["join",
                ["rightTop","(-1)","i+j"],  
                ["matrix",[
                    [["rightBottom","a","11"],"...",["rightBottom","a","1,j-1"],["rightBottom","a","1,j+1"],"...",["rightBottom","a","1n"]],
                    ["⁝","","⁝","⁝","⁝"," ","⁝"],
                    [["rightBottom","a","i-1,1"],"...",["rightBottom","a","i-1,j-1"],["rightBottom","a","i-1,j+1"],"...",["rightBottom","a","i-1,n"]],
                    [["rightBottom","a","i+1,1"],"...",["rightBottom","a","i+1,j-1"],["rightBottom","a","i+1,j+1"],"...",["rightBottom","a","i+1,n"]],
                    ["⁝","","⁝","⁝","⁝"," "],
                    [["rightBottom","a","n1"],"...",["rightBottom","a","n,j-1"],["rightBottom","a","n,j+1"],"...",["rightBottom","a","nn"]]
                ],true],
                " = ",
                ["rightBottom","A","ij"]
            ]
        </code>
    </span>
    我们把上式中的
    <code>
            ["matrix",[
                [["rightBottom","a","11"],"...",["rightBottom","a","1,j-1"],["rightBottom","a","1,j+1"],"...",["rightBottom","a","1n"]],
                ["⁝","","⁝","⁝","⁝"," ","⁝"],
                [["rightBottom","a","i-1,1"],"...",["rightBottom","a","i-1,j-1"],["rightBottom","a","i-1,j+1"],"...",["rightBottom","a","i-1,n"]],
                [["rightBottom","a","i+1,1"],"...",["rightBottom","a","i+1,j-1"],["rightBottom","a","i+1,j+1"],"...",["rightBottom","a","i+1,n"]],
                ["⁝","","⁝","⁝","⁝"," "],
                [["rightBottom","a","n1"],"...",["rightBottom","a","n,j-1"],["rightBottom","a","n,j+1"],"...",["rightBottom","a","nn"]]
            ],true]
        </code>
    称为元素
    <code>["rightBottom","a","ij"]</code>的<span class="important">余子式</span>，记为<code>["rightBottom","M","ij"]</code>。
</p>
<p>
    所以，我们可以知道：
    <code>
        ["join",
            ["rightBottom","A","ij"],
            "=",
            ["rightTop","(-1)","i+j"],
            ["rightBottom","M","ij"]
        ]
    </code>
</p>